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Sinus hyperbolique

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Le sinus hyperbolique est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Définition

La fonction sinus hyperbolique, notée \sinh (ou \operatorname{sh)La norme internationale ISO/CEI 80000-2:2009 recommande sinh. est la fonction complexe suivante :
\sinh:z\mapsto\frac{\mathrm e^z-\mathrm e^{-z2
où z\mapsto\mathrm e^z est l'exponentielle complexe.
La fonction sinus hyperbolique est la partie impaire de l'exponentielle complexe.
La fonction sinus hyperbolique est un analogue de la fonction sinus dans la géométrie hyperbolique.

Propriétés

Propriétés générales

  • \sinh est continue et même holomorphe donc infiniment dérivable. Sa dérivée est la fonction cosinus hyperbolique notée \cosh.
  • \sinh est impaire.
  • Les primitives de \sinh sont \cosh+C, où C est une constante d'intégration.
  • La restriction de \sinh à ℝ est strictement croissante, concave sur \left -\infty,0 \right et convexe sur \left 0,+\infty \right .

Propriétés trigonométriques

Des définitions des fonctions sinus et cosinus hyperbolique, on peut déduire les égalités suivantes :
\mathrm e^z=\cosh z+\sinh z
\mathrm e^{-z=\cosh z-\sinh z
Ces égalités sont analogues aux formules d'Euler en trigonométrie classique.
De même que les coordonnées (\cos t, \sin t) définissent un cercle, (\cosh t, \sinh t) définissent la branche positive d'une hyperbole équilatère. On a en effet pour tout t :
\cosh^2 t-\sinh^2 t=1.
D'autre part, pour x\in\R :
\sinh(\mathrm ix)=\frac{\mathrm e^{\mathrm ix-\mathrm e^{-\mathrm ix2=\mathrm i\sin(x) , d'où \sinh(x)=-\mathrm i\sin(\mathrm ix);
\sinh(x+y)=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y) , d'où \sinh x=2\sinh\left (\frac {x {2 \right )\cosh\left (\frac {x {2 \right ) ;
\sinh x=x\prod_{n=1^\infty{\cosh\left ( x/2^n\right ) (obtenu en itérant la formule précédente) ;
\sinh^2\left(\frac x2\right)=\frac{\cosh(x)-12.
L'utilisation de formules trigonométriques telles que \tan(2t)=\frac{2\tan t{1-\tan^2t permet aussi d'obtenir des relations plus anecdotiques, telle que (pour tout réel x non nul) :
\sinh(x)=\frac{-1{\tan\left(2\arctan\left(\mathrm e^x\right)\right) ;
voir également l'article Gudermannien.

Développement en série de Taylor


La série de Taylor en 0 de la fonction \sinh converge sur ℂ tout entier et est donnée par :
\sinh z=z+\frac{z^3{3!+\frac{z^5{5!+\dots=\sum_{n=0^{+\infty\frac{z^{2n+1{(2n+1)!.

Valeurs

Quelques valeurs de \sinh :
  • \sinh(0)=0 ;
  • \sinh(1)=\frac{\mathrm e^2-1{2\mathrm e ;
  • \sinh(\mathrm i)=\mathrm i\sin(1).

Zéros

Tous les zéros de \sinh sont des imaginaires purs : \forall z\in\Complex\quad\sinh(z)=0\Leftrightarrow z\in\mathrm i\pi\Z.
{{DémonstrationSoit z=x+\mathrm iy avec x,y\in\R alors
\sinh z=0\Leftrightarrow\sinh(x)\cos(y)+\mathrm i\sin(y)\cosh(x)=0\Leftrightarrow\sin(y)=0\text{ et \sinh(x)=0\Leftrightarrow y\in\pi\Z\text{ et x=0.

Fonction réciproque

rightthumbGraphe de la fonction argument sinus hyperbolique sur une partie de ℝ.
\sinh admet une fonction réciproque, notée \operatorname{arsinh (ou \operatorname{argsinh ou \operatorname{argsh ou parfois \operatorname{sinh^{-1)La norme internationale ISO/CEI 80000-2:2009 recommande arsinh., et nommée argument sinus hyperbolique. Il s'agit d'une fonction multiforme complexe. Sa branche principale est généralement{{Chapitrelang=enauteur=W. Kahantitre=Branch cuts for complex elementary functions or Much ado about nothing's sign bittitre ouvrage=The State of the Art in Numerical Analysisauteurs ouvrage=A. Iserles et éditeur=Clarendon Pressyear=1987page=165-210url=https://people.freebsd.org/~das/kahan86branch.pdf. choisie en posant comme coupure les demi-droites \left-\infty\mathrm i,-\mathrm i\right et \left\mathrm i,+\infty\mathrm i\right :
\operatorname{arsinh(z)=\log\left(z+\sqrt{1+z^2\right),
où \log et \sqrt~ sont les déterminations principales du logarithme complexe de la racine carrée complexe. En effet, si \sinh Z=z alors \cosh^2Z=1+z^2, or \mathrm e^Z=\sinh Z+\cosh Z.
La restriction-corestriction de sinh de ℝ dans ℝ admet donc pour réciproque :
\operatorname{arsinh(x)=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2\right).
Cette branche principale est holomorphe sur le disque unité z
 
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