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Fonction de transfert

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  En traitement du signal, une fonction de transfert est un modèle mathématique de la relation entre l'entrée et la sortie d'un système linéaire, le plus souvent invariant. Elle est utilisée notamment en théorie des communications, en automatique, et dans toutes les sciences de l'ingénieur qui font appel à cette discipline (électronique, mécanique, mécatronique ). Les signaux d'entrée et de sortie ci-dessus peuvent avoir plusieurs composantes, auquel cas on précise souvent (sans que ce soit une obligation) que la fonction de transfert est une matrice de transfert. D'autre part, ces signaux peuvent ne dépendre que du temps (c'est le cas le plus classique), ou des variables d'espace, ou des deux : c'est le cas des systèmes multidimensionnels) ; certains auteurs modélisent de cette façon les systèmes définis par des équations aux dérivées partielles , . Dans le domaine du traitement d'images, les signaux d'entrée et de sortie sont des fonctions des variables d'espace qui sont le plus souvent considérées comme des variables discrètes, et sont alors des familles (ou suites) indicées . La fonction de transfert d'un système permet d'en réaliser l'analyse fréquentielle, de manière par exemple à concevoir par la suite un régulateur dans ce qu'il est convenu d'appeler le domaine fréquentiel (voir l'article Automatique). L'entrée d'un système linéaire n'est pas nécessairement une variable de commande et sa sortie n'est pas toujours une variable dont on souhaite gérer le comportement ; par exemple, un bruit coloré peut se modéliser comme la sortie d'un système linéaire ayant pour entrée un bruit blanc et dont la fonction de transfert est déterminée par la méthode de factorisation spectrale causale directe et inverse , §11.1.4..

La notion de fonction de transfert

La relation évoquée plus haut entre l'entrée et la sortie d'un système est un opérateur de convolution dont le noyau est la réponse impulsionnelle du système. Sauf dans le cas d'un système stable ou marginalement stable, celle-ci n'est pas une distribution tempérée (dans le cas de variables continues) ou une suite à croissance lente (dans le cas de variables discrètes), et n'admet donc pas de transformée de Fourier , §22.19. Il est donc nécessaire d'en considérer la transformée de Laplace ou la transformée en Z, selon que les variables sont continues ou discrètes. C'est cette transformée qui est appelée la fonction de transfert du système. Celle-ci ne représente le système que partiellement, puisqu'elle ne prend pas en compte les conditions initiales (ou aux limites). Plus exactement, elle est obtenue en supposant que ces conditions initiales (ou aux limites) sont nulles. Il en résulte une perte d'information, qui fait que la fonction de transfert ne représente que la partie commandable et observable du système. Néanmoins, elle est très importante pour l'analyse des propriétés de ce système et, historiquement, c'est cette représentation qui est apparue la première (voir Histoire de l'automatique). Il importe de bien connaître les possibilités qu'offre le formalisme des fonctions de transfert, ainsi que ses limites.
La notion de fonction de transfert n'a longtemps été définie que pour les systèmes linéaires invariants. La question s'est naturellement posée de savoir si cette notion pouvait s'étendre au cas des systèmes linéaires à coefficients variables. Ce n'est que récemment, par une méthode algébrique, que cette extension a été réalisée avec des conséquences pratiques tangibles , Chap. 11.

Fonction de transfert d'un système monovariable

Cas des systèmes à temps continu


Définition

Considérons un système d'équation :
D\left( \partial \right) y=N\left( \partial \right) u
où et sont respectivement l'entrée et la sortie, et où et sont des polynômes à coefficients réels en {{math∂ de degré et respectivement. L'ensemble de ces polynômes est un anneau euclidien, donc principal, noté \mathbb{R \partial.
Le polynôme est supposé non nul. Supposons que et soient des « fonctions généralisées à support positif »Voir Relation entre la transformée bilatérale et la transformée monolatérale et Transformée de Laplace. admettant des transformées de Laplace notées respectivement \hat{u(p) et \hat{y(p).
Supposons que les conditions initiales {{mathy(0 )…, y (0 ), u(0 )…, u (0 ) soient nulles. Alors l'équation différentielle ci-dessus implique, par la transformée de Laplace, D(p) \hat{y(p) =N(p) \hat{u(p) .
Par conséquent : \hat{y(p) =G(p) \hat{u(p)
où est la fraction rationnelle . Cette fraction rationnelle est appelée la fonction de transfert du système.

Pôles non commandables

Les raisonnements mettant en jeu cette fraction rationnelle doivent se faire sur sa représentation irréductible {{sfracN (p)D (p) où {{mathN (p) , {{mathD (p) , désignant un pgcd de et .
Le système considéré est toujours observable, et il est commandable (resp. stabilisable) si, et seulement si est une unité de l'anneau \mathbb{R p, c'est-à-dire un réel non nul (resp. un polynôme de Hurwitz). Les racines dans le plan complexe du polynôme sont les pôles non commandables du système , Chap. 7.

Degré d'une fonction de transfert

Le degré d'une fraction rationnelle {{mathG est défini par : {{mathd°(G) d°(N) – d°(D).
Faisons la division euclidienne de par . Il vient {{mathN(∂) D(∂)Q(∂) + R(∂) où est le quotient et le reste, tel que . En posant {{mathz y – Q(∂)u, soit encore
y=z+Q( \partial )u
on obtient
D( \partial) z=R( \partial ) u
Supposons que soit une fonction continue par morceaux, présentant une discontinuité à l'origine. Alors est une fonction continue. Pour , trois cas sont possibles :
#{{mathQ(∂) 0, ce qui équivaut à . La fraction rationnelle est dite strictement propre. Dans ce cas, {{mathR(∂) N(∂). Alors {{mvary z.

#{{mathd°(Q) 0, ce qui équivaut à {{mathd°(G) 0. La fraction rationnelle est dite bipropre. Alors est une fonction présentant les mêmes discontinuités que . Une fonction de transfert strictement propre ou bipropre est dite propre.

# , ce qui équivaut à . La fraction rationnelle est dite impropre. Dans ce cas, est, au plan mathématique, une distribution singulière (c'est-à-dire une distribution qui n'est pas une fonction, car elle s'exprime en fonction de la distribution de Dirac et éventuellement de ses dérivées).

Le cas (3) ne se rencontre jamais en pratique, car une entrée discontinue provoquerait la destruction du système. Le cas (2) est exceptionnel : il correspond à un système « sans inertie ». Un régulateur peut néanmoins avoir une fonction de transfert bipropre (le cas le plus simple étant celui d'un régulateur proportionnel).
On suppose dans ce qui suit que l'on se trouve dans le cas (1) ou (2).

Pôles et zéros de transmission - Stabilité

On appelle pôles (resp. zéros) de transmission du système les pôles (resp. les zéros) de la fonction de transfert , à savoir les racines de {{mathD (p)(resp. {{mathN (p)).
Le système est stable EBSB si, et seulement si ses pôles de transmission appartiennent tous au demi-plan gauche (dont, par convention, l'axe imaginaire est exclu). Il est exponentiellement stable si, et seulement si le polynôme est de Hurwitz. D'après ce qui précède, le système est exponentiellement stable si, et seulement s'il est stable EBSB et stabilisable. (On ne saurait trop insister sur le fait que ceci n'est vrai que parce que le système considéré est observable, et que ses seuls modes cachés possibles sont donc ses pôles non commandables.)
Le système est dit à minimum de phase si ses pôles et ses zéros de transmission appartiennent tous au demi-plan gauche.

Réponse fréquentielle

La réponse fréquentielle du système considéré ci-dessus est la fonction \omega \mapsto G({\rm i\omega) . Elle est définie sur le complémentaire de \mathcal{P dans \mathbb{R où \mathcal{P est l'ensemble (éventuellement vide) des pôles de transmission situés sur l'axe imaginaire. Le principe du prolongement analytique montre que la réponse fréquentielle détermine complètement la fonction de transfert.
L'interprétation de la réponse fréquentielle est la suivante : supposons que l'entrée du système soit sinusoïdale, de pulsation (cette pulsation n'appartenant pas à l'ensemble \mathcal{P ci-dessus). Il est commode, au plan mathématique, d'écrire ce signal d'entrée sous la forme complexe t\mapsto A{\rm e^{{\rm i\omega t, t\in \mathbb{R. Alors on montre immédiatement que la sortie est (sous forme complexe) {{mathy(t) G(i ω) u(t). Concrètement, l'entrée et la sortie réelles (dans tous les sens du terme) sont bien entendu la partie réelle de l'entrée et de la sortie complexes ci-dessus.
Si l'axe imaginaire appartient à la bande de convergence de la fonction de transfert (en tant que transformée bilatérale de Laplace de la réponse impulsionnelle), la réponse fréquentielle n'est autre que la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle. C'est pourquoi, dans certaines sciences de l'ingénieur où les systèmes considérés sont toujours stables, la fonction de transfert est définie comme étant cette transformée de Fourier. Ceci est un abus de langage qui n'est pas sans conduire à certaines confusions.

Cas des systèmes à temps discret


Définition

Dans le cas des systèmes à temps discret, le formalisme est très semblable à celui développé ci-dessus, avec certaines différences
  1. Dans l'équation du système, l'opérateur de dérivation est remplacé par l'opérateur d'avance q:x(k) \mapsto x(k+1) . Les signaux sont maintenant des suites.
  2. En écrivant que {{mathD(q) q + a q + ... + a et {{mathN(q) b q + b q + ... + b , l'équation du système peut donc s'expliciter comme suit :
y( k+n) +a_{1y( k+n-1) +...+a_{ny( k) =b_{0u( k+m) +b_{1u( k+m-1) +...+b_{mu(k)
(3) Les conditions initiales sont maintenant . En les supposant nulles, et en symbolisant par et les transformées en Z monolatérales des suites et respectivement, on obtient (voir Propriétés de la transformée en Z)
Y(z) =G(z) U(z)
où est la fonction de transfert .

Causalité

Le système est strictement causal si, et seulement si sa fonction de transfert est une fraction rationnelle strictement propre (i.e. ). Cela signifie que la sortie à un instant donné (considéré comme l'instant présent) n'est influencée ni par le futur de l'entrée, ni même par la valeur de celle-ci à l'instant .
Le système est causal si, et seulement si sa fonction de transfert est propre. Cela signifie que la sortie à un instant donné n'est pas influencée par le futur de l'entrée.
Enfin, le système est non causal si, et seulement si sa fonction de transfert est impropre. La sortie à un instant donné est alors influencée par le futur de l'entrée. Cela est bien entendu impossible lorsque passé, présent, futur, ont les significations habituelles. Néanmoins, on peut réaliser, par exemple, du traitement du signal en temps différé en utilisant des filtres numériques non causaux.

Stabilité

Un système à temps discret de fonction de transfert est stable EBSB si, et seulement si ses pôles de transmission, c'est-à-dire les pôles de , sont tous situés à l'intérieur du cercle unité.
On sait que la relation entre la variable de Laplace et la variable de la transformée en Z est (voir Transformée de Laplace) {{mathz e où est la période d'échantillonnage. On a donc {{math z < 1 (resp. {{math z 1) si, et seulement si \Re (p)
 
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