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Moyenne

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  En mathématiques, la moyenne est un outil de calcul permettant de résumer une liste de valeurs numériques en un seul nombre réel, indépendamment de l’ordre dans lequel la liste est donnée. Par défaut, il s’agit de la moyenne arithmétique, qui se calcule comme la somme des termes de la liste, divisée par le nombre de termes . D’autres moyennes peuvent être plus adaptées selon les contextes.
La moyenne est un des premiers indicateurs statistiques pour une série de nombres. Lorsque ces nombres représentent une quantité partagée entre des individus, la moyenne exprime la valeur qu’aurait chacun si le partage était équitable.
La notion de moyenne s’étend aux fonctions avec la valeur moyenne, en géométrie classique avec le barycentre et en théorie des probabilités avec l’espérance d’une variable aléatoire.

Moyenne de deux valeurs

Valeur intermédiaire

La notion de moyenne est historiquement reliée à celle de valeur intermédiaire, appelée aussi médiétéStella Baruk, « Moyenne », Dictionnaire de mathématiques élémentaires, Éditions du Seuil, 1995.. Étant donné deux nombres et , comment choisir une valeur pour que soit à ce que soit à ? La réponse diffère selon l’opération choisie pour aller d’un nombre à l’autre.
Par exemple, pour aller de 2 à 18, on peut ajouter deux fois 8, avec une étape en 10, ou multiplier deux fois par 3, avec une étape en 6. Le premier cas décrit une moyenne arithmétique, qui s’obtient par la fraction \frac{2+18{2. Le second cas est une moyenne géométrique, qui s’obtient avec la racine carrée \sqrt{2\times 18.
Les identités remarquables usuelles permettent de montrer rapidement que la moyenne géométrique de deux nombres positifs est toujours inférieure à leur moyenne arithmétique.
{{Démonstrationtitre=Une démonstration de l’inégalité arithmético-géométrique sur deux valeurscontenu=
Si et sont deux réels tels que , de l'identité de Legendre
4ab=(a+b)^2-(a-b)^2
on déduit
ab
 
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