Today: Saturday 19 June 2021 , 3:45 pm


advertisment
search




Notations actuarielles internationales

Dernière mise à jour 1 Mois , 7 Jour 2 Vues

Advertisement
In this page talks about ( Notations actuarielles internationales ) It was sent to us on 13/05/2021 and was presented on 13/05/2021 and the last update on this page on 13/05/2021

Votre commentaire


Entrez le code
  Les notations actuarielles fournissent un standard de représentation des contrats d'assurance-vie. Ce standard facilite l'expression des résultats de la tarification et du provisionnement basé sur les mathématiques financières et sur les tables de mortalité . Ces notations intègrent le core syllabus de l'institut des actuaires (Actuaire) et sont à la base des enseignements en assurance-vie. Leur écriture sous LaTeX peut se faire grâce aux paquetages actuarialsymbol et actuarialangle .

Notations utilisées pour la partie 'mathématiques financières'

\textstyle i représente le taux d'intérêt effectif annuel.
\textstyle i^{(m) est le taux nominal annuel par période de capitalisation de \textstyle \frac{1{m année. Par exemple, \textstyle \,i^{(2) est le taux d'intérêt nominal convertibles semestriellement. Le taux périodique est alors de \textstyle \frac{i^{(m){m.
1+i=\left(1+\frac{i^{(m){m\right)^{m
Le taux annuel effectif est de 12, quel est le taux nominal ?
Si \textstyle d est le taux d'escompte, et \textstyle \delta le taux d'intérêt continu :
\,(1+i) = \left(1+\frac{i^{(m){m\right)^{m = e^{\delta = \left(1-\frac{d^{(m){m\right)^{-m = (1-d)^{-1
La lettre \textstyle v est utilisée pour représenter la valeur présente de 1 dans un an (voir Actualisation) :
\,v = {(1+i)^{-1\approx 1-i+i^2

Option VBASupport 1 ' Needed for Calc (libreoffice/openoffice)
Function annuity( i as double, n as double, Optional m as double = 0, _
Optional k as Integer =1, Optional Terme as String= "immediate" )
'i Effective interest rate expressed in decimal form. E.g. 0,03 means 3%.
'n Years for payments.
'm Deferring Years, whose default value is zero.
'k Yearly payments frequency. A payment of k − 1 is supposed to be performed at
' the end of each year.
'Terme A string, either "immediate", "continuous" or "due".
i_k=(1+i)^(1/k)-1 'effective rate for one period
n_k=n*k 'number of periods for payements
m_k=m*k 'deferring periods
v_k = 1 / (1 + i_k) 'present value rate
d = i_k / (1 + i_k) 'discount rate for one period
if Terme = "immediate" then annuity = (1-v_k ^ n_k)/i_k/k
if Terme = "due" then annuity = (1-_kv ^ n_k)/d/k
annuity = v_k^m_k*annuity
'k is not used in continous case
delta= log(1+i) ' continuous rate
v = 1 / (1 + i)
if Terme = "continuous" then annuity = v^m * (1-v ^ n)/delta
'MsgBox "Valeur présente d'un paiement annuel de 1, fractionné en " & k & _
' " versements par an (à terme de type : " & Terme & "), d'une durée " & n & _
' " ans, différée de " & m & "années, au taux " & format(i,"0.00%") & " = " & annuity
End Function

Les tables de mortalité

Entre (x) et (x+1)

Une table de mortalité indique le nombre de personnes vivantes à un âge donné, sur la base d'hypothèse sur la population initiale et des lois de survie.
\textstyle l_x est le nombre de personnes vivantes, par rapport à une cohorte initiale, à l'âge \textstyle x. Comme l'âge augmente le nombre de personnes vivantes diminue.
\textstyle l_0 est le point de départ de \textstyle l_x : Le nombre de personnes vivant à l'âge 0. Ceci est connu comme la racine de la table (certaines tables de mortalité commencent à un âge supérieur à 0).
\textstyle w est l'âge limite des tables de mortalité. \textstyle l_n est égal à zéro pour tous \textstyle n\geq w.
\textstyle d_x est le nombre de personnes qui meurent entre l'âge \textstyle x et l'âge \textstyle x+1. \textstyle d_x peut être calculée en utilisant la formule \textstyle d_x=l_x-l_{x+1.
\textstyle q_x est la probabilité de décès entre les âges de \textstyle x et l'âge \textstyle x+1.
\,q_x = d_x / l_x
\textstyle p_x est la probabilité que l'individu âgé de \textstyle x survive à l'âge \textstyle x+1.
Comme l'alternative entre l'âge (\textstyle x) et (\textstyle x+1) est de mourir ou survivre :
\,p_x+q_x=1
\textstyle {_{kq_{x, la probabilité que l'individu d'âge \textstyle x meurt dans la \textstyle {k+1^e année.
\textstyle {_{ka_{x une rente sur l'individu d'âge \textstyle x différée \textstyle k années. Le premier paiement intervient dans \textstyle k+1 ans.

Entre (x) et (x+n)

Ces symboles peuvent être étendues à plusieurs années en insérant le nombre d'années en bas à gauche du symbole de base.
\textstyle \,_nd_x = d_x + d_{x+1 + \cdots + d_{x+n-1 = l_x - l_{x+n montre le nombre de personnes qui meurent entre l'âge \textstyle x et l'âge \textstyle x+n.
\textstyle \,_nq_x est la probabilité de décès entre les âges de \textstyle x et l'âge \textstyle x+n.
\,_nq_x = {_nd_x / l_x
\textstyle \,_np_x est la probabilité d'une personne d'âge \textstyle x de survivre à l'âge \textstyle x+n.
\,_np_x = l_{x+n / l_x

L'espérance de vie

\textstyle \,e_x est l'espérance de vie pour une personne encore en vie à l'âge \textstyle x. C'est le nombre espéré d'anniversaires à vivre.
e_x = \sum_{t=1^{\infty {_{tp_x
Une table de mortalité montre généralement le nombre de personnes vivant à des âges entiers. Une hypothèse courante est que d'une distribution uniforme de décès (UDD) entre \textstyle x et \textstyle x+1.
\,l_{x+t = (1 - t)l_x + tl_{x+1

Les rentes

Les rentes annuelles

Le symbole de base pour la valeur actualisée d'une rente est \textstyle a.
thumbExemple de notation actuarielle.
1. Une assurance versant 1(€) lorsque survient la mort.
2. payée au moment de la mort
3. pour personne âgée de \textstyle x année, pour \textstyle n ans
4. payé si \textstyle (x) meurt dans les \textstyle n ans
5. différé (\textstyle m années)
6. pas de sens fixe
  1. L'indice à droite indique l'âge de la personne lors du démarrage de rente et la période pour laquelle une rente est versée (a_x).
  2. L'exposant à droite indique la fréquence de paiement dans l'année (a_x^{(m)).
  3. Le symbole au-dessus indique quand les paiements sont dus. Deux points pour le terme à échoir ou anticipé, barre pour le versement continu et rien pour le terme échu (\ddot{a_x,\ \bar{a_x,\ a_x).
\textstyle a_{\overline{ni représente la valeur actualisée d'une rente à terme échue.
\,a_{\overline{ni = v + v^2 + \cdots + v^n = \frac{1-v^n{i
\textstyle \ddot{a_{\overline{ni représente la valeur actualisée d'une rente à terme à échoir ou anticipé (paiements unitaires au début de chaque année).
\ddot{a_{\overline{ni = 1 + v + \cdots + v^{n-1 = \frac{1-v^n{d

Les rentes semestrielles, trimestrielles ou mensuelles


Si le symbole \textstyle (k) est ajoutée au coin supérieur droit, les paiements d'une valeur de \textstyle 1/k se produisent chacune des \textstyle k périodes de l'année.
a_{\overline{ni^{(k) = \frac{1-v^n{i^{(k), \ddot{a_{\overline{ni^{(k) = \frac{1-v^n{d^{(k)
\textstyle \overline{a_{\overline{ni est la valeur limite de \textstyle \,a_{\overline{ni^{(k) quand \textstyle k tend vers l'infini. La rente sous-jacente est connue comme une rente continue.
\overline{a_{\overline{ni= \frac{1-v^n{\delta
\textstyle \,s_{\overline{ni est la valeur accumulée de la rente à la date du dernier paiement.

Capitaux décès

Le symbole de base pour un capital décès est \textstyle \,A.
\textstyle A_x indique une prestation au décès à la fin de l'année de la mort (montant de 1).
\textstyle A_x^{(12) indique une prestation payable à la fin du mois du décès.
\textstyle \overline{A_x indique une prestation payée à la date du décès.

Autres Notations Actuarielles

Garantie en cas de vie

Le symbole de base pour un capital différé \textstyle \,E (en cas de vie).
\textstyle _nE_x indique, pour une personne d'âge x, une prestation à l'âge n+x si elle est vivante (montant de 1).

La prime

Le symbole de base pour représenter la prime nette est \textstyle \,P ou \pi. Par exemple
{_{hP^{(m)({_{n\ddot{a_{x) représente la prime annuelle (payée en m versements par an pendant h années) pour une annuité à terme anticipé et différé de n années.

La Valeur ou Provision Mathématique

Le symbole \textstyle \,V sert à représenter la provision mathématique ou la valeur d'une police.

Coefficients ou commutations

Ces coefficients ou commutations établies par des fonctions actuarielles qui dépendent d'une table de mortalité et d'un coefficient d'actualisation n'ont pas de sens particulier.
Ils servent à simplifier l'écriture des calculs.
D_x=l_x .v^x comme le nombre de survivants actualisés
C_x = d_x v^{ x+\frac{1{2 comme le nombre de décès actualisés à l'âge x.
N_x=\sum_{k\geq 0 D_{x+k=\sum_{k= 0^{\omega-x D_{x+k
S_x=\sum_{k\geq 0 N_{x+k=\sum_{k\geq 0(k+1). D_{x+k

L'assurance sur plusieurs individus

\textstyle a_{xyz est une rente annuelle, payée dès la fin de la première année et tant que vivent \textstyle (x), \textstyle (y) et \textstyle (z).
\textstyle a_{\overline{xyz est une rente annuelle, payée dès la fin de la première année et tant que vivent \textstyle (x), \textstyle (y) ou \textstyle (z).
a_{\overline{xy=a_{y+a_{x-a_{xy
\textstyle A_{xyz est une assurance qui intervient à la fin de l'année du premier décès de \textstyle (x), \textstyle (y) et \textstyle (z).
La barre verticale indique la conditionnalité :
\textstyle a_{xy est une rente de reversion qui profite à \textstyle (x) après le décès de \textstyle (y).
\textstyle A_{xyz est une assurance au premier décès de \textstyle (y) et \textstyle (z).

Notes et références


Catégorie:Mathématiques financières
Catégorie:Assurance
Catégorie:Sciences actuarielles
 
commentaires

Il n'y a pas encore de commentaires




vu pour la dernière fois
Most vists